Lineare Algebra Beispiele

$4 x + 7 y = 10$ , $x + 1.75 y = 2.5$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 4 & 7 & 10 \\ 1 & 1.75 & 2.5 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{7}{4} & \frac{10}{4} \\ 1 & 1.75 & 2.5 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{4} & \frac{5}{2} \\ 1 & 1.75 & 2.5 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{4} & \frac{5}{2} \\ 1 - 1 & 1.75 - \frac{7}{4} & 2.5 - \frac{5}{2} \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{4} & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{7 y}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{7 y}{4} = \frac{5}{2} - x$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4} = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4} = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 y$ heraus.

$\frac{1}{7} (7 (y)) = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{2} + \frac{4}{7} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 (2)}{7} \cdot \frac{5}{2} + \frac{4}{7} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 2}{7} \cdot \frac{5}{2} + \frac{4}{7} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{7} \cdot 5 + \frac{4}{7} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $5$ .

$y = \frac{2 \cdot 5}{7} + \frac{4}{7} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{10}{7} + \frac{4}{7} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.5

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x$ .

$y = \frac{10}{7} - \frac{4 x}{7}$

Schritt 4.4

Stelle $\frac{10}{7}$ und $- \frac{4 x}{7}$ um.

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{10}{7}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, - \frac{4 x}{7} + \frac{10}{7})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{4 x}{7} + \frac{10}{7} \end{array}]$